| LIMIT FUNGSI |
1. Siswa dapat memahami pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi.
2. Siswa dapat memahami pengertian limit fungsi melalui pengamatan grafik.
3. Siswa dapat memahami pengertian limit kiri, limit kanan dan limit fungsi.
4. Siswa dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan pengertian limit fungsi.
A. Pendahuluan
Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908
 Agustin Louis Cauchy |
B. Pengertian Limit Fungsi
Coba Anda perhatikan kalimat - kalimat yang sering di jumpai dalam percakapan sehari–hari berikut ini!
1. Pembalap sepeda x hampir saja mencapai kota.
2. Nilai rata-rata ulangan matematika di kelas XI IPA mendekati sempurna.
Kata-kata seperti “hampir”, “mendekati” dapat dianalogikan dengan pengertian “limit” dalam matematika. Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi, yaitu :
1. perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau, dan
2. pengamatan grafik fungsi di sekitar titik yang ditinjau
Untuk pengamatan limit fungsi di suatu titik dapat di pahami dengan menghitung nilai fungsi di sekitar titik yang di tinjau. Misalnya, kita mempunyai fungsi f(x) = x + 2, untuk x mendekati 1, berapakah nilai fungsi f(x)?
Perhitungan nilai f(x) untuk x mendekati 1 dapat dilakukan dengan cara membuat daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai x yang dekat dengan 1. Nilai fungsi f(x) = x + 2 di tunjukan pada tabel berikut:
x | 0,8 | 0,9 | 0,9999 | 1 | 1,0001 | 1,1 |
f (x) | 2,8 | 2,9 | 2,9999 | ...3... | 3,0001 | 3,1 |
Pada tabel di atas, terlihat nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang di tinjau dari tabel itu, tampak bahwa fungsi f(x) = x + 2 mendekati nilai L = 3 jika x mendekati 1, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. Dengan demikian dapat di tuliskan bahwa :
a. dari arah kiri dituliskan sebagai :
b. dari arah kanan dituliskan bebagai :
c. baik dari arah kiri maupun kanan dituliskan sebagai :
Tanda
Bagaimanakah cara menentukan limit fungsi melalui pengamatan grafik fungsi ? sebagai contoh, kita gunakan kembali fungsi f(x) = x + 2. sketsa grafik fungsi f (x) di tunjukan pada gambar berikut ini :
Pada gambar ini tampak bahwa fungsi f(x) = x + 2 mendekati nilai L= 3
jika x mendekati 1. Coba perhatikan gambar 1 disamping. Tanda (+) pada 1+ dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = 1 dari
kanan. Oleh sebab itu, di sebut limit kanan.
Gambar 1 |
Pada tabel di atas limit fungsi f(x) untuk x mendekati 1 dari arah kanan sama dengan L2=3,0001, dan limit fungsi f(x) untuk x mendekati 1 dari arah kiri sama dengan L1=2,9999. Dari gambar di atas pula tampak bahwa nilai L1 dan L2 hampir sama dengan 3, maka dapat di katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati 1 ada dan nilai tersebut sama dengan 3.
Secara umum dapat di nyatakan bahwa jika :
Maka dapat di katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L.
Pernyataan itu dapat di tulis sebagai :
Berdasarkan deskripsi di atas, jika , maka fungsi y = f (x) terdefinisi untuk x di sekitar a. Penjelasan di atas makin di pahami dengan menyimak contoh berikut ini.
Contoh soal.
1. Untuk grafik fungsi dibawah ini periksalah fungsi manakah yang nilai limitnya ada disekitar x = a?
Gambar 2 |
Jawab:
Pada gambar 2 :
(a) Terlihat bahwa tidak ada, meskioun limit ada yaitu L. Dengan demikian limit fungsi f(x) untuk mendekati a tidak ada.
(b) Terlihat bahwa ada dan juga ada. Dengan demikian, limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada, dan fungsi f(x) terdefinisi disekitar x = a.
2. Diketahui fungsi f(x) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
a. Tentukan
b. Tentukan
c. Tentukan ada? Jika ada, hitunglah nilai .
Jawab:
Grafik fungsi f(x) = x – 3, untuk , dan untuk diperlihatkan pada gambar 3.
Gambar 3 |
Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh bahwa:
a.
b.
c. dan
Oleh karena itu, ada dan nilai limit adalah
Daftar Nilai Limit:
No. | Limit kiri | Limit kanan | Nilai L | |
1 | Ada, nilainya L1 | Ada, nilainya L2 | L1 = L2 = L | Ada, nilainya L |
2 | Ada, nilainya L1 | Ada, nilainya L2 | Tidak ada | |
3 | Ada, nilainya L1 | Tidak ada | Tidak ada | |
4 | Tidak ada | Ada, nilainya L2 | Tidak ada | |
5 | Tidak ada | Tidak ada | Tidak ada |
